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    向量外積的幾何意義

    發布時間:2017-07-06 10:19:04 作者:黃英 

    有“內積”就應該有“外積”,聽起來似乎理所當然,其實并不盡然,只有三維空間中,才有外積的定義。再說“內」”、“外”之分,似乎是歷史的錯誤;兩個向量的內積,并不是個向量,而是個純量(數),然而兩個三維向量的外積,卻仍是個向量,絲毫不見“外”。

    在三維空間中,兩個向量的外積,可以自然地描述,也可以藉由坐標來定義。設 , 為空間中兩個不平行的非零向量,其外積  為一長度等于 ,(θ為 $\vec{a}$,$\vec$ 兩者交角,且 ),而與 $\vec{a}$,$\vec$ 皆垂直的向量。通常我們采取「右手定則」,也就是右手四指由 $\vec{a}$ 的方向轉為 $\vec$ 的方向時,大拇指所指的方向規定為 的方向。例如在右手系的空間坐標中,若 分別代表 x軸、y軸、z 軸正向的單位向量,則
     

     

    另外,顯而易見的是, $\vec{a}$,$\vec$ 的外積與其次序有關, $\vec\times\vec{a}$ 并不等于 $\vec{a}\times\vec$;事實上, 。當$\vec{a}$,$\vec$ 中有一個零,或者兩者平行時,則令 。

    如果選定一組坐標系, 為對應的三正交單位向量,則 $\vec{a}$$\vec$ 的外積,可藉由其分量表示出來:若 , ,則
     
     

    假使我們借用行列式的符號,不妨把它寫成 

    不但容易記,而且也可以經由行列式的性質,驗證一些外積的性質。

    這兩個方法,各有千秋,前者易懂,后者好算。借助于坐標化,我們可以透過機械的運算(可能繁但不會難),驗證一些類似


     

    的復雜式子。即使只知道定義,你一樣可以驗證,然而自然的描述法,就很難辦到。不過,引進坐標系來定義,終不免有個疑慮,那就是:選擇不同的坐標系,會不會導致不一樣的外積?

    由行列式的性質可知,若將 分別代以a1, a2, a3b1, b2, b3,則(*)之行列式等于 0,也就是說 。換句話說, $\vec{a}\times\vec$$\vec{a}$,$\vec$ 兩向量都正交。另外 


    而我們知道, ,因此, ,總而言之, $\vec{a}\times\vec$ 為一長為 ,而與 $\vec{a}$,$\vec$ 皆正交的向量,可見與坐標系的選取無關。

    外積的運算,與一般的乘積,有同有不同。相同的是,分配律成立:
     

      

    不同的是,交換律與結合律并不成立。(試舉一例,說明 不必等于 。┤《氖,反交換律 及 Jacobi 恒等式 
     

    另外,純量與向量的混合結合律則無問題:
     

     

    現在,我們來看一些簡單的應用: 

     
     

    [例1] 正弦定律
    如下圖 ,故 ,故 ,從而 ,因此 。
     

    向量外積

    [例2] 平行六面體的體積
    如下圖, 垂直于底面,即 $\vec$ 所生成的平面,其長 ,也就是底面平行四邊形的面積,因此 ,而 即為高 h,故 代表 $\vec{a}$,$\vec$,$\vec{c}$ 三向量所張之平行六面體的體積。


    向量外積

    , , ,則
     

     

    又,由行列式的性質,易知 。

     

     
     

    [例3]平行四邊形與三角形之面積
    在例2中,若取 $\vec{a}$ 為垂直于底面之單位向量,則平行六面體之體積,即底面平行四邊形之面積。因此,$\vec$,$\vec{c}$ 二向量所張之三角形面積,即為此三重積 之半。

    例如,平面上三點 P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3) 所形成之三角形面積可計算如下:取 , ,而 ,則
     

     

    [例4]平面方程式
    P1(x1,y1,z1), P1(x2,y2,z2), P3(x3,y3,z3) 為空間中不共線三定點, P(x,y,z) 為空間中任一點,則 P1,P2,P3 所決定之平面上,其充要條件為 , , 所張之平面六面體之體積為 0。換言之,
     

     

    P1,P2,P3所決定之平面方程式。

    這個方程式還可以這樣看:
     

     


     

    皆垂直,故為此一平面之一法線向量,而此面又通過 P1 點,因此 。

    前面我們引進了 這種純量值的三重積,現在我們考慮另一種向量值的三重積 ,我們可以證明 = ,從而Jacobi恒等式立即得證:
     

     

    這個式子,我們自然可以將 , , 代入驗證。如果利用內積和外積的線性(分配律和混合結合律),當然簡化到只須檢查 $\vec{a}$, $\vec$,$\vec{c}$ 為坐標單位向量 就夠。然而機械式的演算,到底難以深刻地了解與記憶,因此,我們從另一個角度來分析。

    假設 $\vec{a}$,$\vec$ 為二不平行的非零向量,則 $\vec{a}\times\vec$$\vec{a}$$\vec$ 皆正交,而 則又與 $\vec{a}\times\vec$ 正交,因此必須與 $\vec{a}$,$\vec$ 所張的平面平行,也就是說 ,又因 $\vec{c}$ 也正交,故 。

    $\vec{c}$$\vec{a}$,$\vec$ 皆不正交,則有
     

     

    因此


     

    的特別情況時,不難看出 ,也就是說 :因為兩邊分別與 $\vec{a}$ 作內積,則得 ;因此
     

     


     

     


     

    從而 。

    至于一般情況,可將 兩邊與 $\vec$ 作內積而得:
     

     

    。

     

     
     

    [例5]
    $\vec{a}$,$\vec$ 為二已知向量,且 ,又設 c 為一已知實數,試求一向量 img73,使其滿足 。

     

     
     

    [解]
    img73 為所求之向量,則 $\vec{a}\times\vec$ ,故 ,代入檢驗,確實滿足。

     

    更新:20200221 160720     


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